Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c = 1011. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{2022a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2}}\) + \(\sqrt{2022b+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{2}}\)+\(\sqrt{2022c+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}}\) ≤ \(2022\sqrt{2}\)
Ta có \(\sqrt{2022a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2}}\)
\(=\sqrt{2a\left(a+b+c\right)+\dfrac{b^2-2bc+c^2}{2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{4a^2+b^2+c^2+4ab+4ac-2bc}{2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(2a+b+c\right)^2-4bc}{2}}\)
\(\le\sqrt{\dfrac{\left(2a+b+c\right)^2}{2}}\)
\(=\dfrac{2a+b+c}{\sqrt{2}}\).
Vậy \(\sqrt{2022a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2}}\le\dfrac{2a+b+c}{\sqrt{2}}\). Lập 2 BĐT tương tự rồi cộng vế, ta được \(VT\le\dfrac{2a+b+c+2b+c+a+2c+a+b}{\sqrt{2}}\)
\(=\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{\sqrt{2}}\) \(=\dfrac{4.1011}{\sqrt{2}}\) \(=2022\sqrt{2}\)
ĐTXR \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}ab=0\\bc=0\\ca=0\\a+b+c=1011\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(a;b;c\right)=\left(1011;0;0\right)\) hoặc các hoán vị. Vậy ta có đpcm.
2. Cho a,b,c là ba số thực không âm thỏa mãn a+b+c= \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\). CMR:\(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
2. Cho a,b,c là ba số thực không âm thỏa mãn a+b+c= \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\). CMR:\(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
2. Cho a,b,c là ba số thực không âm thỏa mãn a+b+c= \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\). CMR:\(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
Cho các số thực không âm a,b,ca,b,c thoả mãn a+b+c=1a+b+c=1. Chứng minh rằng :
\(\sqrt{a+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}}+\sqrt{b+\frac{\left(c-a\right)^2}{4}}+\sqrt{c+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}}\le\sqrt{3}+\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\text{|
}a-b\text{|
}\right)+\text{|
}b-c\text{|
}+\text{|
}c-a\text{|
}.\)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\).
Chứng minh rằng \(\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{c+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\le4\left(\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}-1\right)^2}{\sqrt{c}}+\frac{\left(\sqrt{c}-1\right)^2}{\sqrt{a}}\right)\)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng cộng mẫu:
\(\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}-1\right)^2}{\sqrt{c}}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}-2\right)^2}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
\(=\frac{\left(-\sqrt{c}\right)^2}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Tương tự CM được: \(4\left[\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}-1\right)^2}{\sqrt{c}}+\frac{\left(\sqrt{c}-1\right)^2}{\sqrt{a}}\right]\ge2\left(\frac{a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}+\frac{b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\right)\) (1)
Lại có: \(VP\left(1\right)-\left(\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{c+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\right)=...=0\) (biến đổi đồng nhất)
=> \(VT\left(1\right)\ge\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{c+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{4}{9}\)
Cho 3 số không âm a,b,c thỏa mãn:a+b+c=1011.Chứng minh rằng:
\(\sqrt{2022a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2}}+\sqrt{2022b+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{2}}+\sqrt{2022c+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}}\le2022\sqrt{2}\)
Cho a,b,c là 3 số thực không âm thỏa mãn a + b+ c = \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\) 2.CMR: \(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
Cho ba số thực a,b,c không âm thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm GTLN của biểu thức \(K=\sqrt{12a+\left(b-c\right)^2}+\sqrt{12b+\left(a-c\right)^2}+\sqrt{12c+\left(a-b\right)^2}\)
\(K\le\Sigma\sqrt{12a+\left(b+c\right)^2}=\Sigma\sqrt{12a+\left(3-a\right)^2}=\Sigma\sqrt{\left(a+3\right)^2}=12\)
dấu "=" xảy ra khi \(a=b=0;c=3\) và các hoán vị
